Faktöriyel Kavramı ve YÖS İçin Önemi

Faktöriyel, matematiğin önemli konularından biridir ve özellikle kombinasyon, permütasyon ve olasılık gibi konularda sıkça kullanılır. Yabancı Öğrenci Sınavı (YÖS) matematik sorularında da faktöriyel hesaplama ve mantığına dair sorular karşınıza çıkabilir.

---

Faktöriyel Nedir?

Bir sayının faktöriyeli, o sayının 1’den başlayarak kendisine kadar olan pozitif tam sayıların çarpımıdır ve genellikle “!” sembolü ile gösterilir.

Tanım:

$$n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 2\times 1$$

Örnekler:

1. 5! hesaplayalım: $$5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$$
2. 3! hesaplayalım: $$3!=3\times 2\times 1=6$$
3. 0! özel bir durumdur ve 1’e eşittir: $$0!=1$$

---

Faktöriyel Soruları Nasıl Çözülür?

1. Temel Faktöriyel Hesaplama Soruları: Örneğin: 4! + 3! nedir?$$4!=24,3!=6\Rightarrow 24+6=30$$
2. Bölme veya Çarpma İşlemleri ile Faktöriyel: Örneğin: 5!3!\frac{5!}{3!}3!5!​:5!=120,3!=6⇒5!3!=1206=205! = 120, \quad 3! = 6 \quad \Rightarrow \quad \frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 205!=120,3!=6⇒3!5!​=6120​=20
3. Kombinasyon ve Permütasyon ile Kullanımı: Kombinasyon ve permütasyon formüllerinde faktöriyel kullanılır:
   • Permütasyon Formülü: P(n,r)=n!(n−r)!P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}P(n,r)=(n−r)!n!​
   • Kombinasyon Formülü: C(n,r)=n!r!(n−r)!C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}C(n,r)=r!(n−r)!n!​

Örnek:

Bir grup içinde 5 kişiden 2’si seçilecek. Kombinasyon:

C(5,2)=5!2!(5−2)!=5×42×1=10C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10C(5,2)=2!(5−2)!5!​=2×15×4​=10

---

YÖS Sınavında Çıkabilecek Faktöriyel Soruları

1. Hızlı İşlem Soruları:
   • 7!5!\frac{7!}{5!}5!7!​
   • $6!\times 3!$
2. Sadeleştirme Soruları: Örneğin: n!(n−2)!\frac{n!}{(n-2)!}(n−2)!n!​$$=n\times (n-1)$$
3. Kombinasyon ve Permütasyon Soruları:
   • Kaç farklı şekilde düzenlenir?
   • Kaç farklı grup oluşturulur?

---

Tavsiyeler ve Stratejiler

• Sadeleştirme Kullan: Faktöriyel hesaplamalarını her zaman açarak yapmak yerine sadeleştirerek işlem yap.
• 0! ve 1! Kurallarını Unutma: Her ikisi de 1‘dir.
• Permütasyon ve Kombinasyon Formüllerini İyice Öğren: Çünkü YÖS’te sık sık bu konudan sorular gelir.